ЦП Автоматизированные системы управления и промышленная безопасность

БК Автоматизированные системы управления и кибернетика

  • Увеличить размер шрифта
  • Размер шрифта по умолчанию
  • Уменьшить размер шрифта
Программные и аппаратные средства автоматизации.

20. Математические модели взаимодействия элементов сложной системы.

E-mail Печать PDF

 

20. Математические модели взаимодействия элементов сложной системы.

 

Взаимодействие элементов в процессе функционирования сложной системы рассматривается как результат совокупности воздействий каждого элемента на другие элементы.Воздействие представленное набором своих характеристик, часто называют сигналом, т.о. взаимодействие элементов сложной системы может быть рассмотрено в рамках механизма  обмена сигналами. Сигналы передаются по каналам связи между элементами. Начало данного канала – выходной полюс, конец канала – входной полюс элемента. Идеальным каналом называется канал, в котором передача сигнала осуществляется мгновенно и без искажений. Полностью и правильно формализованная система имеет только идеальные каналы связей. Физические каналы связи не являются идеальными. Такие каналы связи необходимо рассматривать как самостоятельные элементы системы (электрические соединительные провода – отдельные резисторы), функционирование которых сводится к соответствующим задержкам и искажениям сигнала. Т.о. окончательная формализация моделируемого объекта может привести к сложной системе, которая по составу элементов и конфигурации связей между ними отличается от конструкции, полученной в результате первоначальной структуризации этого объекта. При построении математической модели сложной системы необходимо учитывать взаимодействие её с внешней средой. Внешняя среда рассматривается как некоторая совокупность объектов, воздействующих на элементы сложной системы, а также испытывающих воздействия, поступающие от элементов сложной системы. Механизм обмена сигналами и формализованная схема взаимодействия элементов сложной системы между собой и с объектами внешней среды включает наборы следующих составляющих:

Подробнее...
 

19. Агрегативные системы.

E-mail Печать PDF

 

19. Агрегативные системы.

Формализуем понятие структуры сложной системы.

Структура сложной системы – есть формализованное множество КЛА.

Введем понятие агрегативной системы: агрегативная система представляется либо как КЛА, либо как объединение конечного числа агрегативных системЭто объединение описывается через схему сопряжения, где КЛА связаны через каналы связи, по которым передаются сигналы.

Пусть A = (A1A2, ..., AN) – множество КЛА, N – фиксированное число.

Обозначим через Ii – множество входных клемм КЛА Ai, а через Oi – множество его выходных клемм.

 

Рассмотрим множество P всех возможных отображений RI ® О, которое можно интерпретировать как множество потенциальных соединений между собой КЛА, входящих в A.

Именно, каждой входной клемме из I ставится в соответствие выходная клемма, с которой на входную клемму поступает сигнал. При этом допускается, что некоторым из входных клемм не ставятся в соответствие никакие выходные, т. е. на эти входные клеммы не поступают никакие сигналы. Точно так же некоторые выходные клеммы могут быть «висячими»: сигналы с этих клемм могут никуда не поступать. Таким образом, на каждую входную клемму подаются сигналы не более чем с одной выходной клеммы. В то же время с одной выходной клеммы сигналы могут идти на несколько различных входных клемм.

Это допустимое отображение R Î P называется схемой сопряжения. Схема сопряжения указывает адресацию сигналов в системе, состоящей из КЛА.

 

Если (jr) – выход является значением отображения R (il) – входа и при этом отображение R является схемой сопряжения, то будем говорить, что между (jr) – выходом и (il) – входом проложен канал связи.

Таким образом, состав агрегатов А и схема сопряжения R определяют агрегативную систему.

Однако задать состав агрегатов А и схему сопряжения R еще недостаточно для однозначного определения динамики получившейся системы. Вводят 2 следующих предположения:

Предположение 1. Каналы связи в системе, состоящей из КЛА, являются идеальными, т. е. передающими сигналы мгновенно и без искажений.

Данное предположение весьма удобно как с математической, так и с программной точек зрения. Отметим, что хотя предположение 1 сужает круг рассматриваемых моделей, мы можем учесть возможные задержки и искажения, присутствующие в реальной системе, введя дополнительные КЛА, отображающие эти особенности реальных каналов связи.

Но и предположения 1 еще недостаточно для определения динамики модели. Поясним причину этого.

Пусть, по предположению, каждый из агрегатов в ответ на поступление любого входного сигнала мгновенно выдает выходной сигнал. Тогда налицо неопределенность. Как должен реагировать агрегат A? Он может сначала отреагировать на сигнал и затем (через нулевой промежуток времени) выдать второй выходной сигнал в ответ на поступление сигнала. В этом случае реакция A состоит в выдаче пары выходных сигналов. Возникает «состязательная» ситуация. Разрешить эту неопределенность и данное противоречие можно с помощью следующего предположения, которое отвечает принципу причинности.

Подробнее...
 

18. Описание кусочно-линейного агрегата в виде многополюсника.

E-mail Печать PDF

 

18. Описание кусочно-линейного агрегата в виде многополюсника.

Опишем теперь КЛА более подробно.

КЛА внешне имеет вид многополюсника с m входными клеммами и n выходными клеммами .

 

 

Отметим, что в общем случае для различных КЛА m ¹ n.

Предположим, что в состав множеств Xi и Yj включены и фиктивные элементы 0, наличие которых на входе или выходе КЛА означает отсутствие сигнала на соответствующей входной или выходной клемме.

Следовательно, входной сигнал на КЛА имеет вид

х = (x1, х2, ..., хm),

а выходной

y = (y1, y2, ..., yn).

 

Рассмотрим, на чем основана программная реализация агрегативных моделей. Не фиктивными входными хi, или выходными yj сигналами, а также состояниями z КЛА являются данные.

Данными считаются: элементарные данные; списки данных; массивы данных; структуры данных.

Элементарными данными считаются: целые числа; действительные числа; символьные переменные. Термины «список», «массив» употребляются в их обычном смысле. Понятие структуры данных соответствует дереву, на корнях которого размещены данные. Каждое данное имеет свое имя. Рассматриваемые данные хорошо отображают содержательные представления, существующие у исследователя относительно реальных объектов, и существенно облегчают процесс построения модели. Эти данные удобны как с математической, так и с программной точек зрения.

Пусть состояние z КЛА определено как некоторая структура данных. Тем самым фиксирован вид дерева, представляющего эту структуру.

Подробнее...
 

Кусочно-линейный агрегат

E-mail Печать PDF

Кусочно-линейный агрегат

В 60-ых годах XX в. был введен класс моделей сложных систем, названных агрегативными. Основным элементом построения таких моделей был кусочно-линейный агрегат (КЛА). Эти модели обладают рядом привлекательных свойств, позволяющих использовать их в рамках общей схемы исследования сложных систем

Определение кусочно-линейного агрегата (КЛА)

КЛА относится к классу объектов, которые принято изображать в виде преобразователя (рис. 1), функционирующего во времени tÎT=[0, ¥) и способного восприниматьвходные сигналы х со значениями из некоторого множества X, выдавать выходные сигналы у со значениями из множества Y и находиться в каждый момент времени в некоторомсостоянии z из множества Z

Класс КЛА отличает специфика множеств X, Y, Z, допустимые формы входных и выходных сообщений (т.е. функций х(t) и у(t), t Î Т), траекторий
z(t), tÎТ, а также способ преобразования входного сообщения в выходное.

 

Поясним указанное выше.

Прежде всего отметим, что динамика КЛА носит «событийный» характер. В КЛА могут происходить события двух видов: внутренние и внешниеВнутренние заключаются в достижении траекторией КЛА некоторого подмножества ZÌ Z состояний; внешние – в поступлении входного сигнала.

Между событиями состояние КЛА изменяется детерминированным образом. Каждому состоянию z ставится в соответствие величина t = t (z), трактуемая как потенциальное время до наступления очередного внутреннего события. Cостояние КЛА в момент tнаступление события – является случайным.

В момент t* наступления внутреннего события, – выдается выходной сигнал у*, содержание которого зависит лишь от z*. (В частности, выходной сигнал может быть и пустым, т. е. не выдаваться). После случайного скачка t(z) вновь определяется время до наступления внутреннего события.

Рассмотрим теперь момент t** наступления внешнего события, связанного с поступлением входного сигнала. Тогда состояние КЛА в момент t** является случайным, зависящим лишь от х и z**. В момент t**, выдается выходной сигнал у **, содержание которого определяется х и z**.

(Условимся считать, что если моменты наступления внешнего и внутреннего событий совпадают, то изменение состояния осуществляется в соответствии с правилом наступления внешнего события, т. е. входные сигналы имеют приоритет над внутренними событиями).

Таким образом, динамику КЛА можно представить в следующем виде.

Пусть в некоторый момент задано состояние КЛА. Тогда определяется время t(z), через которое совершается случайный скачок, и меняется состояние. Начиная с момента наступления события (внешнего или внутреннего), ситуация повторяется, и динамику КЛА можно описать в виде задания фазовой траектории изменения состояний z (t),определенной на

t Î Т = [0, ¥). Процесс функционирования КЛА полностью определяется изменениями, происходящими в особые моменты времени – моменты наступления событий (внешних или внутренних). Между особыми моментами состояние КЛА меняется детерминированно..
Подробнее...
 

13. Идентифицируемые модели.

E-mail Печать PDF

 

13. Идентифицируемые модели.

 

В основе всех ныне весьма многочисленных методов идентификации или опытного отождествления модели с объектом-оригиналом, лежит идея мысленного эксперимента с «черным ящиком» (Н. Винер). В предельном (теоретическом) случае «черный ящик» представляет собой некую систему, о структуре и внутренних свойствах которой неизвестно решительно ничего. Зато входы, т.е. внешние факторы, воздействующие на этот объект, и выходы, представляющие собой реакции на входные воздействия, доступны для наблюдений (измерений) в течение неограниченного времени. Задача заключается в том, чтобы по наблюдаемым данным о входах и выходах выявить внутренние свойства объекта или, иными словами, построить модель. Решение задачи допускает применение двух стратегий:

1. Осуществляется активный эксперимент. На вход подаются специальные сформированные тестовые сигналы, характер и последовательность которых определена заранее разработанным планом. Преимущество: за счет оптимального планирования эксперимента необходимая информация о свойствах и характеристиках объекта получается при минимальном объеме первичных экспериментальных данных и соответственно при минимальной трудоемкости опытных работ. Но цена за это достаточно высока: объект выводится из его естественного состояния (или режима функционирования), что не всегда возможно.

2. Осуществляется пассивный эксперимент. Объект функционирует в своем естественном режиме, но при этом организуются систематические измерения и регистрация значений его входных и выходных переменных. Информацию получают ту же, но необходимый объем данных существенно, на 2-3 порядка больше, чем в первом случае.

На практике при построении идентифицируемых моделей часто целесообразна смешанная стратегия эксперимента. По тем входным переменным конкретного объекта, которые это допускают (по условиям безопасности, техническим, экономическим соображениям и пр.),  проводится активный эксперимент. Его результаты дополняют данными пассивного эксперимента, охватывающего все прочие значимые переменные. «Черный ящик» - теоретически граничный случай. На деле есть объем исходной информации. На практике приходится иметь дело с «серым», отчасти прозрачным  ящиком. Поэтому различают три основных класса постановки задачи идентификации объекта:

1. Для сложных и слабо изученных объектов системного характера достоверные исходные данные о внутренних свойствах и структурных особенностях исчезающе малы, почти отсутствуют. Поэтому задача идентификации, казалось бы, должна включать в себя с одной стороны, определение зависимостей, связывающих входы и выходы (обобщенного оператора), с другой определение внутренней структуры объекта. В такой постановке задача не разрешима даже теоретически. Непосредственным результатом идентификации является только определение зависимостей входы-выходы, причем не в параметрической форме – в виде таблиц или кривых. Для того, чтобы говорить о структуре модели, необходимо перейти к параметрической форме их представлений. Однако, как известно, однозначной связи между функциональной зависимостью и порождающей эту зависимость математической структурой не существует. Каждую непараметрическую зависимость вход-выход можно аппроксимировать различными способами и соответственно построить ряд практически равноценных моделей, характеризующихся собственной структурой, собственным набором параметров и их значений. Основанием для предпочтения той или иной параметрической модели могут быть только данные, внешние по отношению к процессу идентификации, например, основанные на  теоретических соображениях. Если таких данных нет, то в рассматриваемой ситуации мы получаем чисто функциональную или имитационную модель, которая воспроизводит с тем или иным  приближением  характеристики объекта.

Подробнее...
 

12. Аналитические модели.

E-mail Печать PDF

 

12. Аналитические модели.

АНАЛИТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

Одним из главных результатов многовекового развития науки является познание и объяснение бесчисленного множества объективно существующих явлений и процессов, протекающих на разных уровнях живой и неживой природы. Компоненты теоретического арсенала современной науки – картины мира, теории, законы, принципы – все они от наиболее общих практически универсальных, таких как законы сохранения вещества и энергии, начала термодинамики, закон всемирного тяготения и других, до сугубо локальных, относящихся к узкому классу  объектов или явлений, носят модельный характер. Таким образом в распоряжении исследователя, решающего на основе моделирования конкретную исследовательскую или прикладную задачу, сегодня находится огромное множество моделей-заготовок, которые, очевидно, могут и должны быть использованы. Наиболее благоприятной является ситуация, когда подлежащие описанию и исследованию свойства объекта удается представить непосредственно на основе ранее разработанных и практически достоверных модельных конструктов, являющихся элементами соответствующих областей теоретического знания (механики, термодинамики, электротехники и т.п.). В этом случае создаваемая конкретная модель должна быть охарактеризована как аналитическая (теоретическая). Она, как правило, не только описывает свойства и характеристики объекта, но вскрывает и в  терминах соответствующих теорий выявляет сущность процессов, протекающих в исследуемом объекте. Все допущения и ограничения переносятся на модель.

На практике теоретические модели выступают в двух основных ролях. Прежде всего, они образуют структурную основу и являются главным исходным материалом всех без исключения теоретических построений. Любая теория, относящаяся к сфере точных наук, есть не что иное, как система взаимосвязанных аналитических моделей, подчиненная регулятивным принципам и универсальным  зависимостям более высокого уровня.

Подробнее...
 

11. Общая логика построения моделей.

E-mail Печать PDF

 

11. Общая логика построения моделей.

1) Модельное исследование, как любой другой вид осознанной целенаправленной деятельности начинается с возникновения проблемы – потребности изменить в лучшую сторону существующее либо ожидаемое положение вещей в той или иной области. Источник проблемы – предшествующее развитие данной области или же внешние факторы.

2) Осмысление или конкретизация проблемы приводит к формулировке цели или системы целей как желательного результата будущей деятельности по решению проблемы.

3) Поставленная цель должна быть соотнесена с реальными возможностями ее достижения, т.е. с ресурсами (материальными и другими). Сопоставление целей с ресурсными ограничениями приводит к формулировке задачи исследования, которая помимо непротиворечивой системы конкретных целей, учитывающих ресурсные возможности, включает в себя объект моделирования. Задача и объект моделирования должны рассматриваться совместно.

Подробнее...
 

10. Адекватность и эффективность математических моделей.

E-mail Печать PDF

 

10. Адекватность и эффективность математических моделей.

Вопрос о необходимой и достаточной степени соответствия объекту – оригиналу или адекватности модели относится к числу важнейших в сфере модельной методологии. Под эффективностью понимают практическую полезность. Процесс моделирования неизбежно протекает в условиях диалектического взаимодействия двух противостоящих друг другу тенденций. С одной стороны, исследователь всегда стремиться к возможно более полному и точному воспроизведению в модели свойств и характеристик объекта. Неизбежным следствием такого подхода является рост сложности, которая проявляется в числе переменных, числе учитываемых связей и влияний, повышении требования к точности исходных данных и т.д. Именно эта сторона дела – требование полноты соответствия модели объекту – оригиналу акцентируется в большинстве философских работ и даже рассматривается некоторыми авторами как мера совершенства модели. Однако практика показала неопровержимо: эффективность модели находится в обратной зависимости от её сложности, быстро убывая с ростом последней.

Подробнее...
 


Страница 7 из 51

Поиск по сайту

Голосование

Какую среду программирования вы используете чаще всего?
 

Посетители